Leçon: Equations et inéquations cours 3ème
Leçon : Equations et inéquations
Les équations et inéquations sont des opérations avec des inconnus qu’il faut trouver. L’inconnu est souvent appelé x. Parfois y ou z. Mais n’importe quelle lettre peut désigner l’inconnu à trouver.
Il y a plusieurs types d’équations et d’inéquations (1er degré, deuxième degré et plus)
Résoudre une équation ou une inéquation c’est donc trouver la valeur de l’inconnu
I- Les équations
Pour résoudre une équation :
- On range les éléments qui se ressemblent d’un côté
Exemple : 2x – 4 – 5 = 3x +6-3x
On range chacun chez lui. Quand un élément traverse l’égalité, il change de signe. On range les éléments contenant x d’un côté et les éléments sans x de l’autre. L’application donne ceci :
2x-3x+3x=6+4+5
- On calcule chaque coté. Du côté des x, on fais le calcul comme si x n’exitait pas. On calcule les chiffres qui sont devant x. De l’autre côté, on fait aussi le calcul. Ce qui donne ceci :
8x=15
- On tire cette fois la valeur de x. Quand c’est écrit 8x, cela suppose 8 multiplié par x. Donc on divise le le nombre de l’autre côté par le nombre qui est devant x. Ce qui va donner ceci :
X= 15/8. Il est mieux de laisser le résultat sous forme de fraction. Si la fraction peut se réduire, il faut la rendre irréductible (qu’on ne peut plus diviser le numérateur avec le dénominateur
Exemple : 4x=6
X=6/4. On divise le numérateur par 2 et le dénominateur par 2. Ce qui donne 3/2. On ne peut plus diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre. Donc 3/2 est irréductible.
- Si le signe – reste sous le dénominateur, on renvoie au numérateur. Il y arrive pour multiplier le signe du numérateur.
Exemple :
-4x = 6
X= 6/-4
X= 3/-2
X= -3/2
Les équations spéciales
- Les équations (ax+b)(a’x+b’)=0
Dans ce cas, on prend chaque bloc et on le met égale à zéro pour tirer les valeurs de x
Exemple :
(2x+6)(x-4)=0
2x+6=0 ou x-4=0
2x=-6 x=4
x =-6/2 x=4
x =-3 x=4
s = {-3 ;4}
- Les équations ax2 + x = 0
On met x en facteur. Ce qui donne x(ax+1) = 0, et on résous chaque équation égale à zéro.
Exemple :
2x2+ x = 0
x(x+1) = 0
x=0 ou x+1 = 0
x=0 x= -1
s = {-1 ;0}
- Les équations a2-b2 = 0
On met sous la forme (a-b)(a+b) = 0
Exemple :
X2-25=0
√x2 = x √25 = 5 L’équation peut alors s’écrire :
(x+5)(x-5) = 0
(x+5)=0 ou (x-5) = 0
X+5=0 x-5=0
X=-5 x=5
s = {-5 ;5}
Exemple 2 :
X2-3 = 0
√x2 = x √3 = √3 L’équation peut alors s’écrire :
(x+√3)(x-√3) = 0
(x+√3)=0 ou (x-√3) = 0
X+√3=0 x-√3=0
X=-√3 x=√3
s = {- √3; √3}
- Les équations (ax+b)(a’x+b’) – (a’’x +b’’)(ax+b)=0
Pour le résoudre, on met en facteur ce que les deux parties de l’équation ont en commun, puis on fait le calcul de l’autre côté et on trouve deux parties de l’équation. Appliquons cela dans un exemple.
(2x+2)(3x-2) – (x+3)(2x+2)= 0
(2x+2)(3x-2) – (x+3) = 0
(2x+2)(3x-2-x-3)=0
(2x-2)(3x-x-2-3)=0
(2x-2)(2x-5)=0
(2x-2)=0 ou (2x-5)=0
2x-2 =0 2x-5 =0
2x=2 2x=5
X=2/2 x=5/2
X+1 x=5/2
s = {1; 5/2}
- Les équations quotient
Elles se présentent sous forme de fraction. Le dénominateur montre à quelle valeur x n’est pas définie. On trouve la valeur de x au dénominateur. Mais cette valeur ne fait pas partir des solutions, mais indique le point où x ne peut être défini. C’est le numérateur qui précise la valeur ou les valeurs de x. Appliquons cela dans quelques exemples :
Exemple 1 :
L’équation n’est pas définie dans (dénominateur) : x-3=0 x=3
Pour tout x ≠3, l’équation équivaut à : x+2=0, x= -2
Exemple 2 :
L’équation n’est pas définie dans (dénominateur) : x+5=0 x=-5
Pour tout x ≠5, l’équation équivaut à : (2x+2)(x+3)=0
Soit 2x+2=0 x+3=0
2x=2 x=-3
X=2/2 x=-3
X=1 x=-3
s = {- 3; 1}
Exemple 3 :
L’équation n’est pas définie dans (les dénominateurs) : x+1=0 et x+4=0
X= -1 et x=-4
Pour tout x ≠-4 et x ≠-1, l’équation équivaut à :
On réduit les équations au même dénominateur pour faciliter leur résolution
Ce qui équivaut à : 2x+5=0 et (x+1)(x+4)≠0
2x=-5
X=-5/2
II- Les inéquations
Une inéquation est une inégalité qui contient un inconnu x. Il faut chercher cet inconnu, ou trouver dans quel intervalle il peut se trouver. Il se résous de la même manière que l’équation. La différence fondamentale se trouve au niveau de la détermination de la solution.
- Exemple 1 : 2x+4 < 0 2x < -4 x < -4/2 x < -2
Cela se lit x strictement inférieur à -2. Cela peut dire que x peut être partout entre – infini jusqu’à -2. Puisque c’est strictement inférieur, cela veut dire que -2 n’est pas pris dans l’ensemble solution. La solution sera alors :
S=] −∞; -2[
N.B. Les crochets sont toujours ouverts à l’infini, que ce soit -∞ ou +∞
- Exemple 2 : 2x+4 > 0 Nous prenons le même exemple. Cette fois nous remplaçons le signe inférieur par supérieur. Le résultat change.
X reste -2. Cette fois, nous prenons tous les éléments supérieurs à -2, puisque le signe de l’inéquation est strictement supérieur. Puisque c’est strictement supérieur, -2 ne sera pas pris dans l’ensemble solution. La solution sera alors :
S=]-2 ; + ∞[
Exemple 3 : 2x+4 ≥ 0 Nous prenons le même exemple. Cette fois nous remplaçons le signe inférieur par supérieur ou égale. Le résultat change.
X reste toujours -2. Cette fois, nous prenons tous les éléments supérieurs ou égale à -2, cela veut dire que le résultat peut être -2. Donc -2 fait partir de l’ensemble solution. Il est alors pris dans les crochets. Les crochets sont alors fermés sur -2. Le résultat cette fois prend tous les éléments supérieurs ou égaux à 2. Il s’écrit : Puisque c’est strictement supérieur, -2 ne sera pas pris dans l’ensemble solution. La solution sera alors :
S= [-2 ; + ∞[
- Exemple 3 : 2x+4 ≤ 0
Le résultat sera alors :
S=] −∞; -2]
- Les tableaux de signe des inéquations
Prenons l’inéquation 2x+4 ≤ 0
2x ≤ 4 x ≤ 4/2 X ≤ 2
S = ] −∞; 2]
Le tableau de signes est le suivant :
|
X |
-∞ x +∞ |
|
F(x) : ax + b |
Signe de –a 0 Signe de a |
Ce qui donne dans le cadre de notre exemple le tableau suivant :
|
X |
-∞ 2 +∞ |
|
F(x) : ax + b |
– 0 + |
Lorsqu'on a affaire à une inéquation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser puis on utilise un tableau de signe.
Exemple :
(x+2)(-2x+6) ≥ 0
(x+2) ≥ 0 ou (-2x+6) ≥ 0
X ≥ -2 -2x ≥ -6
X ≥ -2 x ≥ 3
On fait le tableau de (x+2) ≥ 0.
|
X |
-∞ -2 +∞ |
|
(X+2) ≥ 0 |
– 0 + |
On fait le tableau de (-2x+6) ≥ 0
|
X |
-∞ 3 +∞ |
|
(-2x+6) ≥ 0 |
+ 0 - |
On peut regrouper les deux résultats dans un tableau unique et on utilise la règle des signes pour obtenir le signe du produit:
|
X |
-∞ -2 3 +∞ |
|
(X+2) ≥ 0 |
– 0 + + |
|
(-2x+6) ≥ 0 |
+ + 0 - |
|
(x+2)(-2x+6) ≥ 0 |
- 0 + 0 - |
Que s’est-il passé ? En jumelant les tableaux nous avons mis les deux valeurs de x, ce qui a crée une colonne de plus. Nous avons maintenu les signes de chaque inéquation avant ou après 0. Dans (x+2) ≥ 0 par exemple, nous avons maintenu le signe – avant 0. Mais après, nous avons mis plus deux fois. S’il y avait 4 valeurs de x, on devait mettre autant de +.
Grâce au tableau de signes, on tire le résultat de l’inéquation. Le signe de l’inéquation est supérieur ou égale. Dans le tableau de signes, on va regarder l’intervalle où l’inéquation est positif (avec le signe +). Cet intervalle est entre -2 et 3.
Donc le résultat se situe dans l’intervalle -2 et 3. Et puisque c’est supérieur ou égale, alors -2 et 3 seront pris. Donc le résultat est :
S = [ -2; 3]
C’est dans cet intervalle que l’inéquation est nulle ou supérieur à zéro.
Si l’inéquation était (x+2)(-2x+6) ≤ 0, on devait prendre dans le tableau l’intervalle où l’inéquation devait être négatif. Et cet intervalle est −∞ jusqu’à -2, et reprend de 3 jusqu’à
La réponse devait donc être : s = ] −∞; -2]U[3 ; + ∞[
C’est dans cet intervalle que l’inéquation est nulle ou inférieur à zéro
Cas des inéquations quotient.
Exemple 1 :
L’inéquation n’est pas définie dans (dénominateur) : x-1 0 x 1
Pour tout x ≠3, l’inéquation équivaut à : x+4 0, x -4
|
X |
-∞ -4 1 +∞ |
|||
|
(X+4) ≥ 0 |
– 0 + + |
|||
|
(x-1) ≥ 0 |
- - 0 + |
|||
|
(x+2)(-2x+6) ≥ 0 |
+ 0 - |
|
+ |
|
La double barre au lieu de 0 signifie que l’inéquation n’est pas définie dans en 1. Donc 1 sera exclu des solutions, puisque c’est le dénominateur. A son niveau dans l’ensemble solution, on ouvrira les crochets pour montrer qu’il n’est pas pris.
est positif ou nul dans l’intervalle] −∞; -4]U]1 ;+ ∞[
- La représentation graphique des équations et inéquations
Soit f(x) une fonction et cf de courbe représentative. Les solutions de l'équation f(x)=0 signifie que les solutions de f(x) sont les points d'intersection de la courbe sur l’axe des absisses (la droite horizontale). Si par exemple les solutions de (2x+4)(x-3)=0 sont -2 et 3, cela veut dire que sur la ligne 0 tracé horizontalement à partir de l’axe des ordonnées, la courbe coupe l’axe des abcisses deux fois : en -2 et en 3.
Pour représenter, il faut tracer le repère orthonormé. Il s’agit de deux lignes perpendiculaires gradués qui se coupent au point 0. La ligne horizontale est appelée l’axe des abcisses tandis que la ligne verticale est l’axe des ordonnées. N’oubliez pas de mettre les flèches sur l’axe des abcississes et des ordonnées. En effet, le repère orthonormé se présente comme deux flèches.
Avant de commencer la représentation graphique, on fait le tableau de signes pour mieux représenter la courbe.
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X |
-∞ -2 3 +∞ |
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(2x+4) |
– 0 + + |
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(x-3) |
- - 0 + |
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(2x+4)(x-3) = 0 |
+ 0 - 0 + |
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La courbe, sur la ligne 0, va donc couper l’axe des abscisses aux points -2 et 3
Traçons aussi la courbe d’une fonction ax+b. Elle va couper l’axe des abscisses en un seul point.
Prenons l’exemple de la fonction 2x+4=0
X=-2
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X |
-∞ -2 +∞ |
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(2x+4) = 0 |
– 0 + |
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Si a était négatif la courbe allait plutôt descendre (décroitre). Prenons notre exemple. Cette fois avec a qui est négatif et constatons la différence sur le tableau.
-2x+4=0 x=2
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X |
-∞ 2 +∞ |
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(-2x+4) = 0 |
+ 0 - |
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C’est le signe de a, donc de 2 qui a défini la direction de la courbe. Quand a est négatif, la courbe décroit. Quand il est positif, la courbe croit. Ceci bien sûr pour des équations et inéquations ax+b=0
A partir de la représentation graphique, on peut facilement résoudre une inéquation
Prenons notre premier exemple et sa représentation graphique.
